Mitä tarkoittaa FF eli "putoamiskerroin" 0?

Fall factor, FF, eli kuten itse olen sinnikkäästi yrittänyt suomentaa, putoamiskerroin, tarkoittaa putoamismatkan ja putoamisen pysäyttävän kytköksen pituuksien suhdetta. Klassiset esimerkit: Jos putoaa usean köydenpituuden reitillä ständiltä, putoamiskerroin on yksi. Jos putoaa liidaamaan lähdettyään ständin ohi ennen kuin on entinyt klipata kertaakaan, putoamiskerroin on kaksi.

Olen sujuvasti opettanut köydessä roikkumisen tarkoittavan putoamiskerrointa nolla. Ehkä se jossain määrin voikin pitää paikkansa, mutta ei esimerkiksi sillä tavalla, jolla Wikipedia asian tuntee. Asia alkoi kiinnostaa, kun törmäsin vanhaan aikanaan pureksimatta jääneeseen pähkinään: Miksi juuri tuossa Wikipedia-artikkelissa ja monessa muussa lähteessä käytetty yhtälö putoamisen nykäysvoiman laskemiseen näyttäisi antavan putoamiskertoimella nolla arvon 2mg? Suomeksi tämä tarkoittaa kaksi kertaa putoajan paino. Yhtälö on tässä, lainattuna kuvana Wikipediasta:

k on köyden jousivakio, m putova massa, g putoamiskiihtyvyys, E köyden kimmokerroin, q köyden poikkipinta-ala ja f putoamiskerroin. Yhtälö perustuu, kuten artikkelissa kerrotaan, harmonisen värähtelijän matemaattiseen malliin. Perusoletuksena on, että köysi mallinnetaan ideaalisena jousena. Sellainen se ei todellakaan oikeasti ole - tämän tietää esimerkiki siitä, että kun köyden varaan oikeasti putoaa, ei jää pomppimaan ylös alas, kuten tämän matemaattisen mallin mukaan tapahtuisi. Dynaaminen köysi tuntuu hävittävän putoamisenergiaa niin tehokkaasti, että putoamisen jälkeen ei todellisuudessa kovinkaan voimakkaasti pomppaa ylöspäin.

Jousi taas ei hävitä energiaa vaan varastoi sitä. Harmonisessa värähtelijässä onkin vakiomäärä mekaanista energiaa, joka on ajanhetkestä riippuen jakautuneena puristuneen jousen potentiaalienergiaksi, heilahtavan massan liike-energiaksi tai yläkohdassa olevan massan potentiaalienergiaksi. Oikeassa elämässä häviöt kuten ilmanvastus tai köyden viskoelastinen käyttäytyminen koko ajan muuttavat tätä mekaanista energiaa lämmöksi. Tällaiset häviöt huomioi vaimennettu värähtelijä, joka on huomattavasti hankalampi tapaus matemaattisesti.

Mennään nyt siis tuolla vaimentamattomalla mallilla, jonka mukaiseen nykäysvoiman laskentakaavaan moni tuntuu luottavan. Kysymys kuului: miten f:n arvolla 0 eli minkä tahansa mittaiseen köyteen matkan 0 putoamalla saa aikaan nykäysvoiman 2mg? Normaalistihan massan painovoima on mg. Suomeksi tämä tarkoittaisi, että 80kg massa aiheuttaisi noin 1,6 kN nykäyksen, eli hetkellisesti 160kg vastaavan voiman. Eikö putoamatta oleminen ja köydessä roikkuminen aiheuttaisi noin 0,8 kN voiman?

Kyllä, mutta tässä tapauksessa putoamiskerroin 0 ei tarkoitakaan sitä, että roikkuu köyden varassa. Kun massa m roikkuu köyden varassa, köydessä on tietenkin jännitys mg. Tällöin se on venynyt verrattuna kuormittamattomaan köyteen suhteellisen määrän mg/Eq. Tyypillisesti dynaaminen kiipeilyköysi voisi venyä 80kg kuormalla noin 6%, eli vaikkapa 10 metriä pitkä köysi 60cm.

Levossa olevat, köydessä roikkuvat 0kg ja 80kg massa

Putoamiskerroin 0 pitää siis ymmärtää niin, että massa putoaa kokonaan kuormittamattoman köyden varaan, jolloin se tietenkin vajoaa vähintään mainitun suhteellisen matkan mg/Eq, olkoon vaikka 60cm. Arkijärjellä on helppoa ymmärtää, että vauhdilla putoava massa venyttää köyttä enemmän kuin varovasti köyden varaan asetettu, levossa oleva massa:

Mutta kuinka paljon? Mietitäänpä köyden jännityksiä eri tilanteissa. Vasemmalla olevan kuormittamattoman köyden jännitys on nolla. Keskimmäinen, joka kannattelee levossa olevaa 80 kg massaa, kokee jännityksen mg:

Harmonisen värähtelijän heilahduksen ylin piste on sellainen, jossa kaikki energia on massan potentiaalienergiana jolloin jousen potentiaalienergia on nolla. Tätä vastaa kuormittamattoman köyden tilanne. Keskikohta, jonka kahta puolta massa heilahtelee, on selvästi voiman mg tilanne. Tämän voi päätellä siitäkin, että levossa köydessä roikkuvan ja aivan pientä värähtelyliikettä tekevän massan välillä ei käytännössä ole mitään eroa. Pienentyessään värähtely tietenkin lähestyy levossa olevan massan tilannetta ja köyttä, jonka jännitys on mg.

Ihan jo symmetrian vuoksi on helppoa uskoa, että ideaalin jousen tapausessa putoava massa, jota jousi hidastaa, alimmillaan käväisee kohdassa jossa köyden jännitys on 2mg:

Yksi jakso harmonista värähtelyä

Kun harmoninen värähtely kuvataan pystyakselille ja aika vaaka-akselille, saadaan tuttu sinikäyrä.

Tämän mallin mukaan siis ei ole mitään väliä, minkäpituisen kuormittamattoman mutta muuten suoran köyden varaan putoaa, nykäysvoima tulee olemaan sama kuin kaksi kertaa putoajan paino. Jos esimerkiksi ASAPin kanssa käytetty varmistusköysi toimisi kuten ideaali jousi, ei köysi ikinä selviäisi alle 2mg:n nykäyksellä, vaikka ASAP olisi nostettu niin ylös ettei varsinaista putoamiskerrointa tule ollenkaan. 2mg tarkoitti siis kaksi kertaa putoavan massan painoa. Kyllähän se toki käytännössäkin tiedettiin, että suoran ja kireän köyden välillä on suuri joskin epämääräinen ero.

Mikähän mahtaa olla todellisten köysien vaimennuksen rooli tässä? Se on selvää, että ellei köysi ole NIIN jähmeän viskoelastinen, että tilanteesta 0 tilanteeseen mg kestää valua sekuntikaupalla, suurin jännitys ylittää selvästi mg:n. Toisin sanoen putoamisen pysäyttävä köysi sallii aina massan niiata alemmas kuin mihin massa asetuttuaan jää roikkumaan. Mutta ollaanko lähempänä mg:tä vai 2mg:tä? Täytyy myös muistaa, että todellisessa köydessä jännitys ei ole suoraan verrannollinen venymään (kuten ideaalisessa jousessa), eikä edes yksiselitteisen epälineaarinen, koska seassa todellakin on sitä ajasta riippuvaista vaimennusta. On jopa mahdollista, että köydessä on suurempi voima matkalla alas kuin jossain alemmassa pisteessä kun tilanne on rauhoittunut.

En tiedä poikiiko tästä mitään konkreettisempaa. Näitä juttuja on hankalaa tutkia omilla menetelmilläni. Mutta selvisipä ainakin tuo 2mg:n arvoitus.