Mihin laskeutumislaite piilottaa kaiken energian?

Peruskoulun fysiikasta muistetaan (gravitaatiokentän) potentiaalienergia, jos muistetaan. Kysehän oli siitä, että kun kappaletta nostetaan ylöspäin painovoimakentässä, siihen varastoituu energia E = mgh, jossa m on kappaleen massa, g on painovoimakentän putoamiskiihtyvyys ja h on korkeuden muutos eli kappaleen nousema matka. Tämä energia plus häviöt on hissin tai reppua kantavan porraskävelijän todella kappaleelle luovutettava, ja jos kappale vaikka pudotetaan vastaava matka, sama energia näkyy kappaleen nopeutena, kitkan lämmittämänä ilmana ja niin edelleen.

Tai auton jarrujen lämpenemisenä alamäessä, tai laskeutumislaitteen. Kenties vaikeasti uskottava kohta tässä on se, että koko auton potentiaalienergian muutos todella pitää haihduttaa jarrujen kautta lämpöenergiana taivaan tuuliin, ja sama koskee edelleen laskeutumislaitetta (plus köyttä). Kyse on yllättävän isosta energiamäärästä - kuten kaikki porrastreeniä tehneet uskovat.

Siis. Jos kiipeilijä painaa 80 kg ja laskeutuu 50 m köydenpituuden, johonkin pitää työntää

E = mgh = 80 * 9,81 * 50 J = 39,2 kJ

energiaa. 9,81 m/(s^2) on siis maapallon putoamiskiihtyvyyden normaaliarvo.

Mitä 39 kJ (kilojoulea eli tuhatta joulea) oikein tarkoittaa? Voidaan vaikka tutkia, kuinka paljon sillä saataisiin lämmitettyä erilaisia aineita. Lämpöenergia on siitä mukava (ja hankala) energian muoto, että muut energian muodot lähestulkoon pyytämättä muuttuvat lämmöksi, mutta toiseen suuntaan asia on hankalampi. Esimerkiksi uppokeittimen hyötysuhde on käytännössä 100%. Vanhanaikaisen hehkulampun hyötysuhde on luokkaa 97% - tosin vain jos sillä yritetään tuottaa lämpöä eikä valoa. Se hukkaan menevä osuus (esimerkiksi 97% hehkulampun kohdalla) yleensä on juuri lämpöä.

Lämpöenergia näkyy lämpötilan nousemisena. Lämpöenergia virtaa termodynamiikan toisen pääsäännön mukaan korkeammasta lämpötilasta matalampaa lämpötilaa kohti, kuin alamäkeen, ja ikään kuin pyrkii tasaamaan lämpötilaeron. Mitä suurempi ero, sen jyrkempi mäki ja hanakampi energian siirtyminen. Lämpötila on siis se mitä mitataan lämpömittarilla, lämpö eli lämpöenergia näitä jouleja joista tässä puhutaan.

Veden ominaislämpökapasiteetti on 4,182 kJ/(kgK). Toisin sanoen yhden kilogramman vettä lämmittämiseksi yhdellä asteella (kelviniä tai celsiusta) kuluu reilu 4 kJ. Siispä tällä 50 metrin laskeutumisessa vapautuneella energiamäärällä lämmitettäisiin litraa vettä 9,3 asteella.

Ei kuulosta kovin hurjalta. Mutta entäpä jos oletetaan, että kaikki energia meneekin Petzl Reverso 4:n lämmittämiseen? Reverso painaa 59g ja on alumiininen (ominaislämpökapasiteetti 900 J/(kgK)). Siispä lämpötilan muutokseksi sopisi odottaa 39kJ / (0,059kg * 0,9 kJ/(kgK)) = 734K.

No, oikeasti tämä ei ihan pidä paikkaansa, sillä alumiini sulaa 660 celsiusasteessa, jolloin osa energiasta kuluu ns. faasimuutokseen. Mutta vaikka nyt sovittaisiin että reverso kuumenisi ainoastaan lähelle sulamispistettään, niin jutun ydin varmaan on kaikille selvä. Myöskään se, että oikeasti lämpökuormaa on vastaanottamassa myös sulkurengas, ei muuta mitään oleellista.

Onko vastaus, että lämpöenergia vain haihtuu taivaan tuuliin riittävän nopeasti? Esimerkiksi nopeudella 1m/s sen 50 s aikana, jonka laskeutuminen kestää? Tai jos ajattelee laskeutumista jatkuvana prosessina, 1m/s nopeus tarkoittaisi tehoa

P = vF = vmg = 1m/s * 80kg * 9,81m/(s^2) = 785W,

jossa v on nopeus. Sama arvo saadaan jakamalla energia ajalla: P = 39,2kJ / 50s = 785W.

Otetaanpa vähän perspektiiviä. Tässä hehkutetaan näytönohjainta, jonka prosessorin teho on 260W, eli kolmannes reversosta kuvaillussa tilanteessa. Speksissä kerrotaan myös, että ydin saa kuumeta 89-asteiseksi. Vehje näyttää päältäpäin tältä:

Ilmastoitu aski (nvidia)

Voi helposti päätellä, etteivät nuo puhaltimet ole pelkästään teininörttien ihasteltaviksi. Miksi reverso toimii ilman puhaltimia ja huolellisesti suunniteltuja jäähdytysripoja, vaikka sen teho on kolminkertainen? Miksi näytönohjaimen jäähdyttämiseen ei riitä tietokoneen kotelon yleispuhallin, kun reverson ilmeisesti jäähdyttää pieni kesäinen tuulenvire?

Tuulenvire tai tuollainen ärjy flekti perustuu konvektioon, eli ilmiöön jossa lämpöenergia siirtyy kappaleesta fluidin (nesteen tai kaasun) kyytiin ja virtaa sen mukana pois. Ilmiö on sitä merkittävämpi, mitä enemmän kosketuspinta-alaa kappaleella ja fluidilla on (siksi jäähdytyselementin kymmenet ohuet rivat), lisäksi se riippuu lämpötilaerosta ja fluidikohtaisesta kyvystä siirtää lämoöenergiaa. On esimerkiksi ymmärrettävää, että vesi hoitaa homman ilmaa paremmin. Yksinkertainen mutta toimiva tapa arvioida siirtyvää energiaa on:

Q = U A dT,

missä Q on lämmön siirtymisen teho watteina,  U on fluidikohtainen vakio, A on pinta-ala ja dT on lämpötilaero jäähdytettävän kappaleen ja fluidin välillä.

Oletetaanpa, että reverson pinta-ala on 250 neliösenttiä eli 0,025 m^2. Oletetaan edelleen, että jatkuvassa käytössä 20-asteisessa ympäristössä reverso lämpenisi 80-asteiseksi muttei kuumemmaksi, koska siinä lämpötilassa jäähtyminen tasapainottaisi tilanteen. Edellisestä saadaan:

U = Q/(A dT) = 785W/(0,025m^2 * 60K) = 523 W/m^2K.

Tämä 523 wattia neliömetrikelviniä kohti on siis se fluidikohtainen "jäähdytysteho", jolla saataisiin 785 watin teho siirrettyä ulkopinta-alaltaan 0,025 neliömetrin kappaleesta pois. Tyypillisiä arvoja ilmalle on 10 ... 100 ja vedelle 500 ... 10000.

Toisin sanoen ellen tehnyt tässä mitään karkeita virheitä, ilmavirta ei todellakaan pitäisi reversoa alle 80-asteisena, veden alle upottaminen kenties. Pienen vertailun voi toki tehdä kurkkaamalla kotona vedenkeittimensä tehon. Tässä on yksi malli, jossa 1,2 litraa vettä ei onnistu pitämään 1000-wattista vastusta alle 100-asteisena. Reverson teho ajatuskokeessamme oli kuitenkin niinkin paljon kuin 78% tämän vedenkeittimen tehosta.

No, köysihän on eräänlainen "fluidi". Se koskettaa laskeutumislaitetta ja virtaa sen läpi, joten ehkäpä se kuljettaa lämmön pois? Kitkalämpö siis syntyisi kappaleiden rajapinnassa ja siirtyisi molempiin kappaleisiin materiaalien ominaisuuksien määräämällä tavalla. Aineen kykyä johtaa lämpöenergiaa lävitseen kuvaa lämmönjohtavuus k, jonka yksikkö on W/(mK). Alumiinilla tämä arvo on luokkaa 200  ja nylonilla 0,25. Siirtyvän energian määrä pinta-alayksikköä kohden pisteiden A ja B välillä on fourier'n lain mukaan

Q = k dT/dX,

missä dT on lämpötilaero ja dx etäisyys pisteiden A ja B välillä (jotka toki sijaitsevat samassa köntissä kyseistä materiaalia).

Alumiinissa kahden annetun lämpötilan välillä lämpöenergia siis siirtyy 800 kertaa niin tehokkaasti kuin nylonissa. Se, että köydessä kaiken lisäksi on kolmasosa ilmaa, ei paranna tilannetta nylonin hyväksi.

Mistäkö muuten repäisin tämän suhteen? Nylonin tiheys on noin 1,15 kg/l. Beal Access 11mm painaa 73g per metri. Metrin pätkän halkaisijaltaan 11-millistä köyttä tilavuuden voi laskea olevan 0,095 litraa, joten jos se olisi umpinylonia, sen kuuluisi painaa 0,109 kg. 73g/109g = 67%, lähestulkoon liian tarkasti kaksi kolmasosaa.

Takaisin asiaan. Tehdään pieni ajatuskoe. Oletetaan, että ympäristön lämpötila on 20 astetta ja laskeutumislaitteessa kitka synnyttää alumiinin ja nylonin rajapinnassa 80 asteen lämpötilan. Köyden (tätä pientä kosketuspintaa lukuun ottamatta) voi ajatella koko ajan pysyvän 20-asteisena, koska kitkan lämmittämä köysi poistuu välittömästi paikalta ja tilalle tulee uutta, ympäristön lämpöistä köyttä - tästä itse asiassa on kyse ylempänä esitetyssä konvektiossa. Laskeutumislaite taas lämpenee niin, että jonkin matkan päässä kontaktipinnasta lämpötila on tasainen 50 astetta. Tällöin nylonissa lämpöenergia virtaa 80 asteen lämmöstä kohti 20 asteen aluetta, kun taas alumiinissa 80 asteesta 50 asteeseen. Ero on siis nylonissa 60 astetta ja alumiinissa 30 astetta. Ja juuri tämä lämpötilaero saa lämpöenergian virtaamaan, se on kuin alamäki mitä painovoimaan tulee.

Jos oletetaan muut tekijät molemmille kappaleille samoiksi, kaksinkertaisen lämpötilaeron takia nylon siirtääkin lämpöenergiaa jo 1/400 teholla alumiiniin nähden. Siis ylemmän esimerkin 785W tehosta köyteen menisi 2W ja laskeutumislaitteeseen 733W.

Mutta köysihän syöttää koko ajan uutta 20-asteista nylonia imemään lämpöä. Silloinhan voidaan ajatella, että nylonissa 80-asteisen kitkapinnan ja lähimmän 20-asteisen kohdan etäisyys (alla olevassa kuvassa t) on hyvin lyhyt, nollaa lähestyvä. Nollan paksuisesta kerroksesta nylonia lämpö toki siirtyy äärettömällä teholla, jos vain lämpötilaero on olemassa.

Ja tosiaan, voidaan laskea t jolla lämmönjohtumisen teho olisi 785W. Fourier kertoo meille, että yhden neliösentin alalla tällainen paksuus olisi kaksi mikrometriä. Jos 20 asteen lämpötilaan olisi pidempi "liukumäki", ei näin suuri teho jaksaisi kulkea. Lämpöä ei selvästikään kulje yhtään pidemmäs kuin t:n matkalle, koska muussa tapauksessa lämpötila nousisi ja 20 asteen raja työntyisi eteenpäin - eli t kasvaisi. On siis oletettava, että kaikki köyteen siirtynyt lämpö majailee tässä kahden mikrometrin paksuisessa kaistaleessa.

Voisiko homma silti toimia? Tunnen itseni tyhmäksi, kun en osaa tuottaa kivoja differentiaaliyhtälöitä jotka kuvaisivat ilmiön kauniisti. Siispä rumempi tie: Näitä yhden neliösenttimetrin kontaktialoja mahtuu metrin matkalle köyttä koko lailla sata kappaletta. Jokaisen matkalla olisi siis siirrettävä 785J/100 = 7,85J. Jos nyt oletetaan, että tilavuus on umpinaista nylonia 67-prosenttisen köyden sijasta, kunkin kontaktialan alle mahtuvan kaistaleen tilavuus olisi 2um*1m*10mm = 0,2 mikrolitraa ja massa 23 mikrogrammaa. Nylonin lämpökapasiteetti on 1600 J/kgK, joten jos tällaiseen kappaleeseen työnnettäisiin 7,85J lämpö, lämpötilan muutos olisi 21300 astetta.

Tässä siis oletettiin, että koko laskeutumisessa vapautuva lämpö menisi pinnan läpi köyteen. Kaikki yhtälöt ovat mukavasti lineaarisia, joten tuloksista on helppoa johtaa ajatuskokeita. Esimerkiksi jos vain puolet lämmöstä menisi köyteen, riittäisi neljän mikrometrin lämmönsiirtokerros, jonka tuplatilavuus lämpenisi puolikkaalla energialla vain neljänneksen edellisestä: 5300 astetta. Kahdeskymmenesosa lämmöstä: 0,01 mm paksu kaistale, 12 milligrammaa nylonia ja 0,39J lämpöä jemmattavaksi: 53 astetta.

Viimeinen siis kuulostaa jollain lailla järkevältä. Laskentatapa on kuitenkin niin karkea, että vaikkei se sisältäisikään mitään katastrofaalisen typerää joka tekee kaikista tuloksista roskaa, mitään näin tarkkaa sillä ei kannata yrittää päätellä. Siitä olen kuitenkin vakuuttunut, ettei nylonköyden pinnan läpi saa johtumaan kymmentäkään prosenttia laskeutumisessa vapautuvasta lämmöstä.

Mihin lämpö sitten menee? Luulen että oleellisimpi kysymys on, missä se syntyy. Nylonin ominaislämpökapasiteetti on melko hyvä, 1600 J/kgK. Se on esimerkiksi alumiiniin verrattuna yli kolminkertainen (tosin nylonin tiheyskin on alle puolet alumiinin tiheydestä). Joka tapauksessa lämmön säilöminen köyteen ei ole ongelma. 785J/m lämmittää 76g/m köyttä noin kuudella asteella, joka kuulostaa vallan tolkulliselta.

Hankaluuksia tulee, jos on selitettävä lämmön liikkuminen köydessä. Siispä mikäpä olisi mukavampi kuin teoria, jossa mekaaninen työ muuttuu lämmöksi koko köyden tilavuudessa. Jotain tällaista tapahtuu, jos köysipyörässä tai laskeutumislaitteessa mutkalle pakotetussa köydessä syntyvä kitka perustuukin pitkälti köyden sykliseen venymiseen (ulkokehällä venyy, sisäkehällä painuu kasaan) ja samalla hystereesiin katoavaan energiaan.

Asiaa lienee tutkittava lisää.