Talja-analyysia 3: osien nopeudet ja resetointipersous

Taitavat taljalaskut olla yhdysvalloissa high schoolien ja collegejen peruskauraa. Googlella löytyy paljon osumia, mutta ne eivät juurikaan liity köysityöskentelyyn tai muuhun käytännölliseen. Lisäksi ne keskittyvät epäkäytännöllisten - mitä hässäkkäisempien sitä parempi - systeemien ideaalin voimakertoimen selvittämiseen. Voi olla etten tiedä oikeita hakutermejä, mutta en tosiaan ole löytänyt kunnollista käsittelyä edes voima-analyysille, jota äskettäin vähän harrastelin.

Tällaista löytyy senkin edestä (www.physicsforums.com). En tiedä trollaako vastaaja, mutta ainakaan itse en ole samaa mieltä yhdestäkään vastauksesta. No, itsekin kirjoittelen kaikkien nähtäville omia käsityksiäni asioista, mutta en sentään erityisesti tarjoa vastauksia kellekään. Oli miten oli, taso on tätä. Vaikka useimmin ideaalit taljakertoimet menisivätkin oikein, hyötysuhtesiin saakka ei edes yritetä mennä. Mutta sikäli kiinnostavia nuo lukion saivartelut, että normaalisti itse käyttämälläni menetelmällä ne kaikki eivät ratkea.

Pöhkö koulutehtävä

Normaalisti teen vetopäästä lähtien voima-analyysin, mutta oletan hyötysuhteet ykkösiksi jolloin saan suoraan kussakin komponentissa olevan ideaalisen voiman. Mutta kappas. Tässäpä talja haarautuukin nurinkurisesti normaaliin nähden. Ei voi tietää, kuinka voima F jakautuu kahdelle pienelle pyörälle. Kyllä, tämän systeemin toki voisi ratkaista takaperin, koska se ei todellakaan missään kohdassa haaraudu normaalilla tavalla. Mutta jos haarautuisi, jos vaikka ison pyörän 2:1 tilalla olisi z-rig tai jotain monimutkaisempaa, silloin voima-analyysi tyssäisi molemmista suunnista ja jouduttaisiin paloittelemaan ongelma tilanteen mukaan.

Voiman jakautumista haarassa ei ole triviaalia selvittää, mutta köyden liikkuminen on. Jos nimittäin sovitaan, että nuolen kohdalta vedetään nopeudella s (suhteessa ankkuriin), voidaan olla varmoja että molemmat köyden haarat liikkuvat tällä nopeudella. Silloin riittää, että edes toinen pyöristä on kiinnitetty suoraan ankkuriin (aina ei välttämättä ole, mutta se on toinen murhe). Sovitaan, että liikkeen positiivinen suunta on kuorman nostosuuntaan. Köyttä vedetään siis nopeudella -s. On helppoa ymmärtää, että ankkurissa kiinni oleva eli paikallaan oleva pyörä vain kääntää liikkeen suunnan, joten alempi pieni pyörä liikkuu nopeudella s.

Mitä tapahtuu sille köyden haaralle, joka menee alempaan, ylöspäin liikkuvaan pyörään? Kuvittele pyörä 2:1-systeemin osana. vaikka köysi pyörän oikealla puolella pysyisi paikallaan, jos pyörä liikkuu nopeudella s, toisella puolella köysi liikkuu nopeudella 2s. Kun siihen lisätään köyden liike -s suuntaa vaihtaneena eli s, saadaan 3s. Ja yleisessä tapauksessa S2 = 2*SP - S1, missä S2 on köyden liike pyörän jälkeen, SP pyörän liike ja S1 köyden liike ennen pyörää. Kaikki nopeudet ovat suhteessa ankkuriin.

Ei varmaan tarvita neljättä kuvaa selvittämään loppua. 2:1-talja puolittaa nopeuden, joten lopputulos on 1,5s. Kun tämä hirvitys kuvitellaan ideaaliksi, voimakerroin on siis 1:1,5. Olisiko nopeusanalyysista muuta iloa kuin joidenkin voima-analyysilla ratkeamattomien tilanteiden selvittäminen?

No kyllä, sillä voi tutkia taljan komponenttien keskinäisiä nopeuksia ja ennustaa niiden törmäämishetkiä. Toisin sanoen sitä, kuinka paljon köyttä voidaan vetää ennen kuin on resetoitava. Pitäisi keksiä hyvä suomenkielinen nimi taljan alttiudelle ajautua resetointia vaativaan tilanteeseen (tosin "resetoida" ei ole suomea sekään). Tässä erittäin hyvässä Youtube-videossa asiaa sivutaan ja käytetään termiä collapse rate. Videolla muuten päätellään pyörien nopeus ihan otsaluulla katsomalla, mutta jopa joissain käytännöllisissä taljoissa se ei ole niin helppoa - akateemisesta hifistelystä puhumattakaan. Puhun toistaiseksi collapse ratesta (CR) mieluummin kuin puristan väkisin harkitsemattoman suomenkielisen sanan. Kuten vaikka "resetoinnille persous" eli RP.

CR tarkoittaa videolla sitä kerrointa, jolla resetointia vaativaan tilaan etenevän traktorin nopeus on suurempi kuin kuorman nopeus. Siispä nostaakseen kuormaa taljan pituuden verran on ko. traktoria resetoitava CR kertaa (hieman idealisoituna). Oikeassa elämässä taljan pituus on epämääräinen käsite ja resetointitarve riippuu myös "traktorien" pituuksista. Lainaan David Fasulon kirjaa paremman termin puutteessa viittaamaan tarraimen ja pyörän yhdistelmään, ja tässä tekstissä jätän tästä lähin traktorin ympäriltä lainausmerkit pois. Oikeassa elämässä ei tietenkään voi nostaa kuormaa taljan mittaa resetoimatta välillä myös siten, että taljan pituus palaa ennalleen.

Taljan ja "traktorien" pituudet (kuvittele punaisen levyn tilalle tarrain)

Mielestäni taljan pituus teoreettisessa mielessä määräytyy kauimmaisten köysipyörien akselien mukaan. Käytännössä ketjua voi jatkaa kattamaan sulkurenkaat ja ties mitä, jos niin haluaa. Traktorien pituudet jättäisin lähtökohtaisesti huomioimatta. Matemaattisesti tämän voisi linjata niin, että käsitellään taljaa, jonka pituus lähenee ääretöntä - silloin äärellisen mittaiset traktorit ja muu oikeassa elämässä hankala voidaan näppärästi sivuuttaa. Aina kun tällaisia sivuutuksia tehdään, täytyy kuitenkin muistaa palauttaa ikävät asiat mieleen ja ottaa ne huomioon kun sen aika on.

Tehdään kokeeksi nopeusanalyysi tuolle 11:1-taljalle ja verrokiksi vastaavalle 9:1:lle (z-rig on z-rig). Kuvissa on esitetty kaavamaisesti osien liikesuunnat ja suhteelliset nopeudet sekä kohta, jossa tapahtuu törmäys ellei resetoida ajoissa.

11:1, nopeusanalyysi ja kohta, jossa traktorit törmäävät

9:1, nopeusanalyysi ja kohta, jossa traktori törmää kääntöpyörään

Kuva on sikäli hieman epäreilu 11:1-systeemiä kohtaan, että vaikka luvattiin olettaa taljat äärettömän pitkiksi, kaavioiden taljat ovat sen sijaan hyvin lyhyitä suhteessa traktorien pituuksiin. Jos traktorien pituudet unohdetaan, 11:1:llä voi nostaa taakkaa 3/4 taljan pituudesta siinä missä 9:1:llä päästään koko taljan pituus. Todellisuudessa toisen traktorin ilmestyminen kuvioihin - lyhentämään matkaa jonka traktorit pääsevät liikkumaan - voi olla merkittävämpi tekijä resetointien tiheyden suhteen. Täytyypä ehkä joskus tehdä jotain käytännöllisempiä kokeita, siis oikein mittanauhan kanssa.

9:1:n CR on helppo tapaus, se on tietenkin kolme. Mutta 11:1 kohdalla on ilmeisesti laskettava törmäävien traktoreiden lähestymisnopeus, neljä. Se merkitsee, että 9:1 on resetoitava kolme kertaa ja 11:1 neljä kertaa taljan mittaisen kuorman nostamisen aikana. Veikkaan, että vaikkapa tosi kireän köysiradan pingottamiseen tämä olisi ihan ok, mutta ei mihinkään taakkojen nosteluun.