lauantai 11. marraskuuta 2017

Talja-analyysia

Keksin (ihan liian pitkään mietittyäni) edes jonkinlaisen tavan kvantifioida yksittäisen köysipyörän hyötysuhteen merkitystä taljan kokonaishyötysuhteen kannalta. Sehän on melko yleisesti tunnettu nyrkkisääntö, että lähelle nyrkkiä (hehe) laitetaan paras pyörä. Siis se pyörä, jonka läpi köysi ensimmäisenä menee taljasysteemin sisään, merkitsee eniten. Asia on helppoa selittää niin, että tämän pyörän kitka haukkaa osansa kaikesta siitä energiasta, jota taljaan vetämällä syötetään. Se on kuin valtion verotus, jonka päälle muut pyörät vielä asettavat kuntaveronsa.

Mutta entä ne muut pyörät? Missä järjestyksessä pitäisi jakaa liukkaat pyörät, ja kuinka isoja eroja pyörien merkityksessä on? Tutkitaan 5:1-systeemiä, joka on esitelty mm. David Fasulon kirjassa Self-Rescue (s. 130).

Analysoitava 5:1

Tehdään pyörälle voima-analyysi, jonka periaatteet muuten myöskin ohimennen esitellään samassa kirjassa. Kyse ei ole mistään kovin ihmeellisestä tempusta. Siinä vain oletetaan, että kun köysipyörän toiselta puolelta vedetään köydestä voimalla F, toisella puolella pyörää olevassa köydessä on voima F * P1, missä P1 on köysipyörän hyötysuhde (ja köyden on toki oltava ankkuroitu johonkin niin, että se vain kiristyy muttei liiku). Hyötysuhdehan on kerroin jonka arvo on 0-1. Muistutetaan tässä välissä, että 100% on tasan 1, ja on makuasia ilmoittaako hyötysuhteeksi vaikkapa 80% vai 0,8. Tässä pohdinnassa puhutaan enemmän jälkimmäisellä tavalla.

Lähdetään liikkeelle taljan vetopäästä, oletetaan että siinä on voima F. Sitten käydään talja läpi kohti kuorman päätä, kertoen kertynyt voima aina kunkin pyörän jälkeen pyörän hyötysuhteella ja tarrainten tai muiden y-haarojen kohdalla summataan haarojen voimat. Merkitään hyötysuhteita P1, P2 jne. Kerroin F voidaan jättää pois, jolloin siis ei lasketa läpi menevää voimaa vaan kerrointa, jolla voima kerrottaisiin.

Kertoimen yhteisvaikutuksena saadaan efektiivinen taljakerroin, eli hyötysuhteella kerrottu ideaalinen kerroin. Z-rigin efektiivinen kerroin voisi olla vaikka 0,75*3:1 eli 2,25:1.

Talja analysoituna

En ollut oikein koskaan vaivautunut tekemään tätä, etenkään niin että pitää hyötysuhteet muuttujina eikä laske suoraan joillan oletetuilla arvoilla. Olisi kannattanut jo ajat sitten, koska äkkiä huomasin erään mielenkiintoisen seikan. Lausekkeeseen tulee aina yhtä monta termiä kuin mikä taljan ideaalinen kerroin on, esimerkiksi tässä tapauksessa viisi: 1, P1, P2, P1*P2, P1*P3. Ja sehän käy järkeen! Koska termit ovat joko 1, yksittäisen pyörän hyötysuhde tai useamman pyörän hyötysuhteiden tulo, niiden arvot väistämättä ovat välillä 0-1. Niinpä maksimiarvo on viisi, aivan kuten pitääkin.

Ykkönen ilmestyy silloin, kun taljaa vedetään samaan suuntaan kuorman liikkeen kanssa, ja se ilmentää sitä, että köyden voima (1*F) vetää kuormaa sellaisenaan kulkematta yhdenkään pyörän läpi. Pyörättömän köyden hyötysuhde on toki 1. Tämä on yksi viidestä (tässä tapauksessa) reitistä, jota pitkin voima siirtyy taljan läpi. Muut reitit kulkevat yhden tai kahden pyörän kautta. Yhden pyörän kautta kulkeva reitti tuottaa termit P1 ja P2, kun taas esimerkiksi P1*P3 kulkee pyörien P1 ja P3 kautta.

Huomautetaan tässä välissä, että enää en lainaa Fasulon kirjaa tai muutakaan viisaampien opettamaa, vaan vedän hatusta. Reittianalyysi käy järkeeni, mutta se nyt vielä ei paljon merkitse. Siispä kuten aina, epäile netistä lukemaasi.

Reittien selvittämistä auttaa, jos kuvittelee kaikki muut paitsi termissä esiintyyvät pyörät jumittuneiksi. Esimerkiksi P2: jos P1 ja P3 lukitaan, lopputuloksena on 2:1-talja:

P2, 2:1

P1P3 taas ilmentää z-rigiä:
P1P3, 3:1

Loput kolme voiman reittiä tai "osataljaa":
Termejä 1, P1 ja P1P2 vastaavat voiman reitit

Sitä en vielä ole itselleni selvittänyt, miksi 5:1 tässä tapauksessa koostuu komponenteista 1:1, 2:1, 2:1, 3:1 ja 4:1. Näistä toistaiseksi selittämättömistä luvuista huolimatta on melko selvää, että laskennallinen efektiivinen hyötysuhde todella vaihtelee välillä 0-5, ja että jokainen näistä viidestä termistä vaikuttaa siihen tasan yhden viidesosan verran kukin.

Mutta mitkä ovat eri pyörien osuudet? Jos lasketaan kuinka monessa termissä kukin esiintyy, saadaan
  • P1: 3 kertaa
  • P2: 2 kertaa
  • P3: 1 kerran
Ainakin tästä voidaan päätellä, että pyörä yksi pääsee sotkemaan kolmea voiman viidestä reitistä. Ja todella, ykköspyörähän on se nyrkkisäännönkin mukaan kriittinen tapaus. Termit 1 ja P2 pysyvät arvoiltaan samoina, vaikka P1 olisi nolla eli pyörä yksi aivan jumiin ruostunut. Joten ideaalisillakin pyörillä 2 ja 3 päästäisiin korkeintaan taljasuhteeseen 2:1.

Jos taas unohdetaan ideaalisuudet ja oletetaan kahden muun pyörän hyötysuhteeksi 0,8, saadaan seuraavan kuvaajan mukaiset teholliset taljasuhteet, kun tutkittava pyörä saa hyötysuhteet 0-1 (edellä lasketun analyysin mukaan).

Taljan efektiivinen kerroin, jos kunkin pyörän hyötysuhde vaihtelee välillä 0-1 toisten kahden pyörän hyötysuhteen ollessa 0,8
Kulmakertoimet ovat:
  • P1: 2,6
  • P2: 1,8
  • P3: 0,8
Jotka todellakin ovat suoraan verrannollisia esiintymistiheyksiin (karkeasti ottaen kertoimella 0,9). En nyt mene formaalimpaan todistelemiseen, koska pidän simuloidusta empiriasta. Kuvaajat ovat kivoja.

Mutta tämä koskee vain tätä taljaa ja 0,8:n hyötysuhteella toimivia muita pyöriä. Mitä voitaisiin sanoa yleisesti ottaen pyörän vaikutuksesta kokonaisuuteen? 

Merkitäänpä niitä termejä, joissa esiintyy P1, tunnuksilla P1-1, P1-2, P1-3 jne. ja muita Px-1, Px-2 jne. Jos P1:n hyötysuhde nyt putoaisikin puoleen, kokonaishyötysuhde olisi

(P1-1 + P1-2 + P1-3 + ... + P1N) * 0,5 + (Px-1 + Px-2 + ... + PxM)

Tämän taljan ideaalinen voimakerroin on siis N+M (termien määrä yhteensä), ja P1 on mukana N:ssä niistä. Keskimäärin, oikein tilastollisesti ajateltuna, voidaan ehkä olettaa että molempien joukkojen termit ovat yhtä suuria - siis keskimäärin - sovitaan vaikka, että keskiarvo on P. Silloin kokonaishyötysuhde olisi

0,5NP + MP = P(0,5N +M)

Eli kerroin alkuperäiseen nähden olisi

(0,5N+M)/N+M.

Esimerkiksi aiemmin tutkitun 5:1-systeemin tapauksessa (0,5*3) + 2 / (3+2) = 0,7. Varmaan ihan hyvä arvaus, mutta tässä vaiheessa ei auta hyväksyä noin karkeita oletuksia, kun kuitenkin on aloitettu analysoimalla taljasysteemi aika hienojakoisesti.

Mitä isompi termin arvo alun perin on, sen pahempaa jälkeä huononeminen ilmeisesti tekee. Jos huonon pyörän on pilattava kaikki termit, joissa se on mukana, on tietenkin järkevää toivoa että se on mukana etupäässä jo valmiiksi huonoissa termeissä. Eli niissä jotka ovat edellä kuvaillun tilastollisen hajonnan alapäässä. Voidaanko jollain yleisellä perusteella sanoa, että jokin termi on huonompi kuin toinen? Väitän että voidaan. Tässä tapauksessa on vain astelukujen 0-2 termejä, eli enimmillään kerrotaan kaksi hyötysuhdetta keskenään (kuten P1P2). Otetaan toiseksi esimerkiksi 11:1-talja analyyseineen:

11:1

1 +
P1 + P2 +
P1P2 + P1P3 + P1P4 + P2P4 +
P1P2P3 + P1P2P4 + P1P3P4 +
P1P2P3P4

Esiintymistiheydet (suluissa 1., 2, 3, ja 4. asteen termien määrät):

  • P1: 8 kertaa (1, 3, 3, 1)
  • P2: 6 kertaa (1, 2, 2, 1)
  • P3: 4 kertaa (0, 1, 2, 1)
  • P4: 5 kertaa (0, 2, 2, 1)
P1 on mukana kolmessa ja loput kahdessa kolmannen asteen termissä. Kolmannen asteen termit ovat kertaluokkaa pienempiä jo siksi, että niitä on kerrottu kertaalleen enemmän jollain tosielämän hyötysuhteella (esimerkiksi 0,8*0,8*0,8 = 0,5). Mitä korkeampi aste, sen useamman pyörän läpi kulkevaa voiman reittiä termi edustaa. Neljännen asteen termi vastaa yksinkertaista 5:1-taljaa, jonka vahvuuksiin hyötysuhde ei tunnetusti kuulu. Toiseksi, mikäli N:n pyörän systeemissä on N:n asteen termi (aina ei ole), siinä joka tapauksessa on mukana kaikkien pyörien hyötysuhteet, eikä se siis tee mitään eroa pyörien välillä.

Termi P1P2P3P4

Joudun tällä erää jättämään asian hieman ilmaan. Aihe on siitä kiitollinen, että sitä pystyy tutkimaan simuloidun empirian keinoin, nimittäin laskemalla tietokoneella ison määrän erilaisia tapauksia ja mittaamalla niitä tilastollisesti. Kun nimittäin ei näköjään riitä älli analyyttiseen ratkaisuun, oikeaan matematiikkaan. Palannen asiaan!

Ei kommentteja:

Lähetä kommentti